Виртуальная математика

В квантовой физике мы ссылаемся на внутренние состояния системы (точки конфигурационного пространства), которые не наблюдаются сами по себе, и судим мы о них по внешним проявлениям: нечто наблюдаемое происходит так, как если бы эти внутренние состояния существовали и взаимодействовали определенным образом. В принципе, ничто не мешает вычислять наблюдаемые величины каким-то иным способом — в котором прежние представления о виртуальных состояниях никак не участвуют. Это нормально: по жизни, одно и то же можно сделать разными способами, — так почему квантовую систему не построить из разных кирпичиков?

Аналоги этой виртуальности существуют и в математике, и связаны они с выходом за пределы области определения. Фундаментальные математики предпочитают о предметной области не упоминать — как будто математические объекты существуют сами по себе и не относятся вообще ни к чему. Но это иллюзия, самообман. Любая математическая теория предполагает конкретный универсум, поверх которого надстраиваются абстрактный формы. Строгая теория неприложима ни к чему помимо ее предмета, и суждения о чем-то внешнем логически некорректны. Тем не менее, чисто формально, мы можем ввести невозможные в теории (виртуальные) объекты — и построить новую (расширенную) теорию, в которой эти сущности заданы наряду с прочими определениями предмета.

Например, сложение двух натуральных чисел дает натуральное число, большее каждого из слагаемых. Но это означает, что оба слагаемых виртуально присутствуют в сумме, становятся ее внутренними компонентами. Допустим, что наблюдаемыми нашей теории (ее предметной областью) являются только четные числа. Тогда представление четного числа в виде суммы двух нечетных — совершенно аналогично представлению квантовых амплитуд суперпозициями виртуальных состояний. Более того, мы можем пойти дальше — и допустить существование совсем странных отрицательных чисел, способных уменьшать любое число при сложении. Если на практике мы научимся изготавливать вещи, представляющие эти воображаемые сущности, — они переходят в разряд наблюдаемых, и можно смело строить теорию целых чисел вообще.

Точно так же, произведение целых положительных чисел — число положительное; все вместе такие числа образуют предметную базу одной из важнейших математических теорий, где операция разложения на целые множители играет фундаментальнейшую роль. Каждое целое положительное число оказывается облаком виртуальных произведений — и существуют "простые" числа, для которых объем этого облака минимален; это своего рода базис нашего универсума. Для каждого числа можно описать его внутреннее строение набором "множеств уровня" L_n, содержащих все разложения в произведение n сомножителей (не учитывая единицу, которая по факту лишь задает единицу измерения, физическую размерность); на первом уровне, очевидно оказывает само исходное число, а у простых чисел подуровни отсутствуют. Количество элементов ("меру") множества X обозначим через μ(X). Определим теперь индекс целого положительного числа N как:

Для простого числа индекс очевидно равняется единице; для всех остальных чисел он больше единицы. Например, λ(15) = 1.5, а λ(12) = 3.5. Порядок сомножителей имеет значение — но одинаковые сомножители мы здесь не различаем (хотя могут быть и другие определения). Факториальный вес введен из сугубо практических соображений: для нас важнее варианты, когда искомый результат получается за минимальное число шагов. С одной стороны, индекс характеризует иерархичность целого числа — а с другой, это показатель "продуктивности": чем выше индекс, тем больше способов число изготовить на практике. Зная разложение числа на простые множители, легко вычислить его индекс — но выражение не из самых тривиальных. Поэтому в теории индексов целых положительных чисел возникают эффекты, аналогичные квантовой интерференции, перепутыванию разных внутренних представлений.

Как и в аддитивном примере, возможно введение виртуально отрицательных целых чисел, которые можно считать произведением положительного числа на (–1) — подобно тому, как положительные числа предполагают общий ("размерный") множитель 1; в составе физически наблюдаемых (положительных) чисел тогда будут присутствовать лишь цепочки с четным числом отрицательных сомножителей — или иначе: отрицательные размерности в природе рождаются только парами (как полюса магнита). По этому поводу существует весьма содержательная математика — а теория индексов имеет нетривиальные обобщения.

Переход к рассмотрению целых чисел любого знака сохраняет всю эту сложность — но в новой теории она отходит на второй план, по сравнению с общей алгебраической структурой, в которой предполагается, что отрицательные числа "наблюдаемы" сами по себе (то есть, можно их представить соответствующими вещами).

Аналогично, в теории вещественных чисел при любых вычислениях "физическим" считается именно вещественное значение — и введение мнимой единицы есть явный выход из области определения квадратного корня; однако выражения в комплексных числах вполне допустимы как виртуальные пути, если в конечном итоге мы все равно получим нечто вещественное. Здесь аналогия с квантовой виртуальностью еще нагляднее: к одному и тому же вещественному числу можно приходить по разным траекториям в комплексной плоскости, и каждое вещественное число представляется иерархией комплексных путей (циклов, петель), для которой тоже возможно определить индексы — и развить содержательную математическую теорию. При наличии связей, топология предметной области может быть усложняться, и не факт, что для всякого числа найдется какой-нибудь цикл (хотя бы и нулевой длины). Виртуальность мнимой единицы в рамках вещественной теории — тоже связь, ограничение на множество допустимых путей. С другой стороны, такая теория может рассматривать альтернативные топологии комплексной плоскости, не предполагающие традиционных операций сложения и умножения. Но если мы собираемся перейти к математике комплексных чисел как таковых — правила работы с ними придется явно задать, выбирая одну из возможных (несводимых друг к другу) структур.

Еще один пример — отрицательные и комплексные множества в теории, где каждое множество ассоциировано с виртуальными путями его построения из других.

Точно так же, возможны нетрадиционные логики, в которых классические оценки истинности получаются в результате неклассических рассуждений.

В общем случае, в любой области математики возможны как классические теории, работающие только с объектами, определимыми в рамках этой теории, — так и "квантовые" расширения, учитывающие разные способы виртуализации.

декабрь 1982