О числовых системах

Как бы ни пытались приверженцы "чистой" науки отделить математику от жизни, любые математические решения осмысленны только в контексте наших практических нужд. Иногда математика оказывается полезной лишь в качестве предварительного упражнения, наподобие детской игры; без такой "настройки" на деятельность тоже не обойтись. Большинство же математических результатов оказываются долговечными лишь поскольку породившие их формы деятельности сохраняются на каком-то из уровней культуры.

В качестве иллюстрации — несколько широко известных фактов из жизни чисел.

Мы настолько привыкли к этим вездесущим существам, что уже и не задумываемся, что они такое и откуда берутся. Как будто существовали они в природе до земного человечества — и останутся после него. Да, числа выражают нечто объективное, существенное в вещах, что никуда не денется, есть человек и нет. Но сами они — лишь один из способов выражения, субъективные оценки объективных количественных соотношений. Это продукт человеческой деятельности — и различия в характере деятельности приводят к разным идеям числа.

Как и во всякой науке, математические формы относятся либо к наблюдаемым свойствам вещей, либо порождаются внутренним движением науки (теоретически), либо устанавливают границы возможных приложений (типовая постановка эксперимента). В частности, число может возникать при сопоставлении разных деятельностей; это особая деятельность, которую мы называем измерением: одна деятельность становится мерой другой. Измерение не может дать что угодно: с одной стороны, результат определяется свойствами измеряемого, с другой — нам нужен практический результат, а не процесс измерения сам по себе; поэтому точность измерения всегда находится в пределах разумной достаточности. Другими словами, к сложности мира мы подходим со своим масштабом, используем исторически сложившиеся шкалы. Если какая-то шкала нас не устраивает — мы строим другую, но прежние оценки никуда не исчезают, они остаются в новых результатах как уровни приближения (альтернативные картины мира). Нет смысла придерживаться "точных" значений там, где хватает чего-то попроще. Более того, разные шкалы могут быть просто несовместимы. Например, в Европе исторически выделяют четыре времени года — а в некоторых районах Азии и Африки год делится на пять (неодинаковых) частей; и то, и другое относится к определенным аспектам объективной реальности — но было бы странно судить о европейском климате по африканским меркам, или наоборот.

Типичный процесс измерения иерархичен: сначала мы должны составить представление о возможных порядках величин; потом явления раскладываются по полочкам общего характера; при необходимости вводятся дополнительные подразделения (уточнения). Абстракция этого процесса — особый математический продукт, который мы называем системой счисления.

В общем случае, система счисления есть некоторая иерархия шкал, так что любое число (из некоторого практически важного диапазона) возможно представить набором позиций на разных уровнях иерархии. Обратно: каждому такому набору можно сопоставить реальные деятельности и процесс измерения, в результате которых мы получим именно это число.

Вообще говоря, разнообразие возможных представлений ничем не ограничено. Каждое из них настроено на определенную области практики. Далее, одно и то же число допускает сколько угодно разных представлений — поскольку получить его можно в разных ситуациях. Вопрос об эквивалентности разных представлений перестает быть любимой игрушкой математиков и становится сугубо практическим вопросом: там, где разные действия входят в одну деятельность, их результаты реально соизмеримы. Если такой общей деятельности нет — бессмысленно задавать какие-либо отношения. В частности, формальное конструирование может обслуживать деятельность по сознательной организации производства — в этом контексте математические результаты приобретают нормативный характер: мы уже не приспосабливаем наше поведение к реальности, а требуем, чтобы реальность соответствовала нашим ожиданиям, — и активно вмешиваемся в устройство мира, чтобы удерживать окружающую среду в заданных параметрах.

Позиционные системы счисления на данный момент считаются наиболее универсальными, а все остальное, вроде бы, представляет лишь исторический интерес. Насколько это так — время покажет. Уже сейчас намечаются некоторые подвижки в понимании позиционности, и от дальнейших обобщений никто не застрахован. В традиционном исполнении, система счисления с основанием K задает некоторую базовую шкалу, представляющую собой конечный набор натуральных чисел {1, ... , K–1}, так что (положительный) результат измерения оказывается одним из чисел этого набора ("ближайшим" по величине, в данном контексте, по отношению к текущей деятельности). Если же найти представителя в этом диапазоне не удается, мы переходим на другой уровень иерархии: для представления чисел, больших K–1, последовательно вводятся шкалы вида {K^p, ... , (K–1)•K^p} с любыми натуральными p, а для чисел, меньших единицы, шкалы вида {K^–q, ... , (K–1)•K^–q }, with natural q, c натуральными q. Когда подходящая грубая шкала найдена, мы представляем результат ближайшим элементом шкалы (первая значащая цифра), а соответствующее число p или –q называется порядком величины (или позицией записи — отсюда термин "позиционная система"). Во многих случаях знания порядков величин достаточно для принятия решений. Если нет — исследуем разность результата измерения и полученной грубой оценки. При наличии соответствующей процедуры измерения, мы можем получить оценку этой разности по порядку величины — следующую значащую цифру. В итоге всякое (измеримое) число представляется набором пар {k, p} или {k, –q}, где k есть первая значащая цифра в соответствующем порядке. Вообще говоря, результат измерения не обязан быть представлен во всех порядках — каждое число развертывается в свою, индивидуальную иерархическую структуру, со своим набором непустых позиций. Условно ее можно представить формулой

где любая из трех компонент может отсутствовать. Для удобства, отсутствующие элементы обозначают особым символом — нулем. Важно иметь в виду, что нуль — это не число, а всего лишь обозначение пустой (вакантной) позиции. Вроде пустых клеточек в поле для суммы на квитанциях к оплате. Однако математики традиционно причисляют нуль к числам — и потом сами удивляются возникающим из-за этой логической неряшливости странностям. Но уж очень хочется формально включить нуль в состав допустимых цифр и записать любое число в простом и компактном виде:

предполагая, что суммирование идет по всем M_min ≤ μ ≤ M_max, но в некоторых позициях стоят нули. Удобство записи — великая вещь; многие выводы в хорошей нотации самоочевидны. И тем не менее, следует помнить, что всякая нотация вырабатывается для определенного класса деятельностей и ограничивает мысль соответствующими рамками; возможны ситуации, когда такие ограничения препятствуют развитию науки, стереотипы мешают творчеству.

Ясно, что представимые в позиционной системе величины всегда рациональны; какие бы числа ни получали мы в результате измерения, записать их можно лишь с некоторой конечной точностью. Когда математик предлагает нам вообразить себе бесконечную последовательность цифр, магические слова "и так далее" — пустой звук, пока мы не укажем, как именно следует порождать новые члены бесконечной последовательности. Бесконечность за гранью математики, это просто неоконченная деятельность, отсутствие результата. По отношению к нашей иерархии шкал, нуль и бесконечность — это просто указание на выход за пределы шкалы данного уровня, соответственно, снизу или сверху (если, из практических соображений, мы полагаем возможным ограничиться линейно упорядоченными шкалами).

Вообще говоря, величины разных уровней несопоставимы — и просто так складывать их нельзя. Суммы в (*) или (**) — техническая условность, способ указания на иерархичность деятельности. Понимать такие выражения буквально — все равно что складывать велосипед с орбитальной станцией: да, в каких-то случаях рубль можно привести к доллару — но это особая деятельность, а в ней свои накладные расходы... Однако в математике пока не принято заботиться о формальных приличиях, и в этой супердемократической науке мы вполне можем вычислять уровень благосостояния народа как полусумму жалких грошей в кармане бедняка и капиталов на банковских счетах мультимиллиардера — что с успехом использует буржуазная пропаганда.

Тем не менее, следуя традиции, мы на какое-то время разрешим сплющивать иерархию в нечто плоское — и объявим любые числа сравнимыми, отвлекаясь от способа их получения. Осмысленные абстракции никому не вредят. Проблемы начинаются там, где эскизы с натуры начинают выдавать за природу, где вместо разума — грубый произвол.

Следующий шаг на пути формализации — переход к пределу. Мы не можем сосчитать бесконечность и выписать все вообще значащие цифры, переходя ко все более мелким (или укрупненным) масштабам. Но в некоторых практически важных случаях оказывается, что разные иерархические структуры представляют один и тот же вполне реальный объект; в контексте позиционных систем счисления мы говорим о разной точности представления — но есть и менее тривиальные возможности.

Понятно, что всякое единство подразумевает некоторую деятельность, в рамках которой мы это единство и устанавливаем. Традиционно, математики сопоставляют "записи" чисел в одной и той же позиционной системе и говорят, что два числа (иерархические структуры) различаются меньше, чем на K^M, если у них совпадают все цифры при μ ≥ M. Если M отрицательно, речь идет о соответствующих отрезках дробной части, и "точное" значение определяют как предел при M→–∞. Нетрудно догадаться, что точно так же возможно говорить и о совпадающих последовательностях для μ ≤ M, и неограниченное возрастание ничем, по существу, не отличается от приближения к нулю. С точки зрения иерархического подхода, мы говорим, что любые последовательности цифр, совпадающие между уровнями M_min и M_max представляют в этих пределах одно и то же число. В других пределах могут проявиться различия; всякая эквивалентность поэтому относительна, и следует всегда указывать, в рамках какой иерархической структуры мы ее обнаруживаем, — но в современной математике область применимости обычно лишь подразумевается, и возникает соблазн объявить частный результат всеобщим законом, истиной в последней инстанции, для всех и на все времена.

На практике существование предела означает возможность некоторой деятельности, в результате которой мы создает вполне определенный продукт. Количественное сравнение продуктов разных деятельностей — особая деятельность, и если по каким-то причинам не удается выразить одно через другое, это не просто формальная иррациональность, а выражение объективных отношений между реальными вещами. Объекты, сопоставимые в деятельности (продукты одной и той же деятельности), должны быть и математически сопоставимы, при правильном выборе системы счисления. Другими словами, они представимы в одной и той же иерархии шкал. Например, дробь 1/3 в десятичной записи содержит бесконечное количество знаков; в троичной системе она явным образом рациональна — но дробь 1/10 в троичной системе конечным образом не представима. Соизмеримость величин обнаруживается при переходе к системе счисления с основанием 30, в которой обе дроби представлены конечной записью. Заметим, что так понимаемая соизмеримость зависит от реальной возможности построения соответствующих шкал. Если оказывается, что шкала с основанием 30 недоступна (запрещена "правилами отбора"), никакая математика не позволит в полной мере сопоставить троичные и десятичные числа на практике. Подобные ситуации хорошо известны музыкантам, где разные звуковысотные шкалы (музыкальные строи, звукоряды, лады, тональности) далеко не всегда совместимы в рамках одной композиции.

В этом контексте, несоизмеримость рациональных и иррациональных чисел означает лишь, что некоторые числа (характеризующие продукт некоторой деятельности) не представимы конечным образом ни при каком натуральном основании K. Ну и что? В XX веке хорошо изучены многочисленные обобщения позиционных систем счисления — в частности, с любыми вещественными основаниями K, и с вещественными числами в качестве "цифр". Иерархия шкал предполагает не только (и не столько) клоны одной и той же шкалы, это набор "естественных" (для данной предметной области) единиц измерения (вообще говоря, своих на каждом уровне), с соответствующими наборами совместных шкал (правилами отбора). В физике, например, мы стараемся использовать системы единиц, при которых из уравнений движения исчезают все размерные множители. Нечто подобное возможно и в математике: корректное построение числовых шкал (системы счисления) должно воспроизводить иерархию соответствующей предметной области (организацию деятельности). Если мы можем практически конечным образом получить продукт — его математическая модель также будет конечной, при правильном выборе шкалы. Никаких "переходов к пределу" тут не потребуется.

Несоизмеримость в математике — выражение объективной несопоставимости деятельностей. Например, цилиндрическая емкость ("стакан") с диаметром основания 1 и высотой 4 имеет объем π; если у нас есть емкость в форме параллелепипеда ("пакет") с габаритами 1´1´3, ее объем равен 3, и мы никак не можем при помощи одной из этих емкостей отмерить такое же количество жидкости, как при помощи другой. Но кто нам мешает иметь под рукой обе емкости — и при случае пользоваться стаканами или пакетами в зависимости от производственной необходимости? Объем тогда выражается не в одномерной шкале, а двумя числами: количество стаканов + количество пакетов (причем знак суммы здесь отвечает совершенно реальной операции смешивания содержимого в некоторой емкости достаточно большого размера). Это вполне аналогично тому, как в квантовой механике вектор состояния двухуровневой системы представляется линейной комбинацией "чистых" состояний, а наблюдаемые величины включают вклады обеих компонент. Приведение многомерных шкал к единому основанию возможно лишь с некоторой степенью точности; удовлетворительность такого представления определяется практическими соображениями. Когда существует реальная процедура порождения все более точных представлений такого рода, мы говорим о переходе к пределу. Но не факт, что все вообще в мире представимо числами — и что предел числовой последовательности обязательно будет числом.

Для иллюстрации, возьмем в качестве основания системы счисления комплексное число Z = Kexp(iφ), где |K|>1. Тогда Z^–m формально стремится к нулю при m→+∞, и, вроде бы, можно строить сколь угодно точные дроби. Однако фазовый множитель exp(–imφ) сильно осциллирует с ростом m, и (в пределе) нулевому значению амплитуды отвечает континуум возможных ("виртуальных") фаз — а вовсе не число. При разных способах перехода к пределу мы получим разные фазовые распределения.

До сих пор мы обсуждали только структурные аспекты систем счисления (статика). Но здесь имеется еще и собственно системный, динамический аспект: в общем случае, система есть способ порождения одних структур другими — данным на входе соответствует некоторый выход. С одной стороны, для всякого числа мы должны уметь построить его представление в данной позиционной системе; с другой — по некоторому представлению мы умеем так выстроить деятельность, чтобы получить соответствующее число. Чтобы избавить себя от подобных рутинных операций, человек изобретает всевозможные автоматы и препоручает им работу с плодами прошлого творчества. Разумеется, роботу все равно, что конкретно сдвигается в мире после его трудов. Оценивает результаты человек. Как минимум, он должен определиться с уровнем деятельности и в зависимости от этого решить, получен хоть какой-нибудь результат или еще нет — а потом уже заниматься сравнением реально имеющихся результатов. Вокруг этой непростой задачи выросла необъятная теория вычислений (включая квантовые): сначала мы робко приглядываемся к выработанным на практике приемам счета — потом усматриваем общий принцип и начинаем его догматически насаждать в качестве априорного критерия правильности.

В теории обобщенных систем счисления (с вещественным основанием и вещественными цифрами) доказывают теорему о том, что при любом выборе основания и цифр представление вещественных чисел окажется либо неоднозначным (некоторым числам соответствуют как минимум две последовательности цифр), либо неполным (существуют непредставимые в данной системе числа). Это живо напоминает знаменитую теорему Геделя в логике полноты и непротиворечивости. Сходство не случайно — оно еще раз напоминает о происхождении математики из человеческой деятельности, хотя бы и втиснутой в узкие рамки типовых шаблонов, официальных предписаний или обывательских стереотипов.

Итак, у нас есть автомат, которому мы можем скормить (неформально полученное) число и (при достаточном терпении) дождаться определенного результата — представления числа в виде последовательности цифр некоторой обобщенной системы счисления. Традиционно цифры выбирают из некоторого конечного множества; их можно упорядочить и перенумеровать — так что в итоге мы опять приходим к представлению шкалы натуральными числами от 1 до K–1(однако здесь K уже не играет роль основания системы счисления). Следующий шаг — добавить в систему конечные последовательности цифр (всевозможные конечные отрезки K-ичной записи, для единообразия включая нули в некоторых позициях). Все такие комбинации также можно перенумеровать — и представить натуральными числами, начиная с K+1. Такие новые "цифры" ничем не хуже старых — и количество цифр (возможных состояний нашего автомата) становится (счетно-)бесконечным. Польза от такого расширения — в единообразном представлении соизмеримых величин: нам больше нет нужды искать общие шкалы, ибо всякое рациональное (в данной системе) число представляется конечной последовательностью цифр. На системном языке: автомат вычисляет позиционное представление числа за конечное число шагов. Последняя полученная "цифра" предполагается "в периоде": после остановки автомата она уже не меняется и воспроизводится во все последующие моменты времени (во всех последующих позициях). В частности, эта последняя цифра может оказаться нулем — и тогда разложение оказывается конечным в традиционном смысле.

Вопрос об иррациональности числа сводится, таким образом, к вопросу: остановится машина на каком-то шаге или нет? Минимальное знакомство с теориями вычислительной сложности подсказывает: формального решения у этой задачи нет. Зато есть иерархия уровней сложности, отношения между которыми не всегда понятны и не всегда хорошо определены. Дело осложняется еще и тем, что само понятие "остановки" тоже формально неопределимо. Действительно, допустим машина не выдает новых цифр в течение какого-то времени. Где гарантия, что мы не попали на достаточно длинный отрезок записи с одинаковыми цифрами — после которого когда-нибудь пойдут и другие? Получили мы результат — или надо еще подождать? Сколько? — минуту? год? вечность? Ответ в практике: если на протяжении данной деятельности нечто остается неизменным — мы считаем это константой, аксиомой или нормативным предписанием (законом). Именно так подходят к своим теориям физики (из тех, что еще не свихнулись на почве "точности" и "строгости" и не уверовали в априорность математических "истин"). Если кусок подынтегрального выражения практически постоянен в пределах интегрирования — мы смело выносим его за знак интеграла, — в крайнем случае, заменяя на некоторое "усредненное" значение. Нам важно принять оперативное решение — и двинуться дальше, а не сидеть и тупо пялиться на тупую машину. Если решение окажется неправильным — жизнь поправит. Лучше делать ошибки, чем не делать вообще ничего.

Наши грубые и несовершенные представления о системах счисления также подлежат развитию в самых неожиданных направлениях. Прежде всего, условным оказывается выбор основания. Почему, собственно, шкалы всех уровней должны быть устроены одинаково? По жизни, например, мы используем "смешанную" шкалу всякий раз, когда смотрим на часы. Может оказаться, что способы измерения с разной точностью весьма различны, — тогда их естественно соотносить с разными математическими объектами.

Далее, всякая иерархия неисчерпаема — и между любыми уровнями может возникнуть нечто промежуточное. Для построения системы счисления вовсе не обязательно развертывать иерархию последовательно, дискретным образом. Вместо суммы (**) мы тогда получаем аналог интеграла Лебега:

,

где каждому уровню разбиения K(μ) ("позиции" в записи) отвечает некая мера dk, играющая в данном случае роль цифры в соответствующей позиции.

Еще одно обобщение — переход от степенных рядов к разложениям общего вида. Например, давайте использовать в качестве иерархии шкал какой-нибудь набор ортогональных функций; в частности, можно понимать позиционную запись как ряд Фурье. Сюда же примыкает разного рода экзотика: экспоненциальные и факториальные разложения, биномиальная система, разложение по числам Фибоначчи и т. д. Трудно сказать, насколько это практично, однако в качестве математической игры — почему бы и нет? Забавно понаблюдать, как одна и та же позиционная запись (последовательность "цифр") порождает разные числа в разных системах счисления. В каких-то случаях такие забавы могут выйти за рамки игры: скажем, "спектральное" представление чисел предполагает определенную последовательность "энергетических" уровней, так что позиционная запись дает нечто вроде "внутренней энергии".

Наконец, привязка представления чисел к деятельности неминуемо приводит нас к существованию культурно обусловленных иерархий шкал — к устранению произвола. И здесь опять вспоминается история формирования звуковысотных систем в музыке: возможны не любые звукоряды, а только достаточно устойчивые и регулярные; каждый звукоряд представляет собой дискретный набор непрерывных зон и допускает несколько уровней вложения одних зонных структур в другие. Возможные ("допустимые") музыкальные решения зависят от устройства звукоряда, и в каждом строе музыка звучит по-своему. Эта модель иллюстрирует существенные черты всякой деятельности, а значит, и в математике следует ожидать ухода от абстрактных (произвольных) конструкций к естественным структурам; ясно, что традиционные математические абстракции никуда не денутся, они по-своему полезны, — но содержательная наука постарается обойтись без голых нулей и дурной бесконечности.